第十一章线性算子的谱。证明，且其中没有特征值。证明时，常值函数1不在的值域中，因此不是满射，这样反之若，定义算子。则由于因此是C[0，1]中有界线性算子。易验证，所以，可推得。由于，必有，所以A无特征值。证毕。证明对任意。因为常值函数1不在的值域中，因此。这样反之，若，定义，定义，显然，因此的内点都是A的点谱，由于对任意，显然，因此，所以设F是平面上无限有界闭集，是F的一稠密子集，在中定义算子T：都是特征值，中每个点是T的连续谱。证明对任意n，，其中1在第n个坐标上。由题设，，因此特征值。又由于是闭集，所以。则对任意n，。由于。这样x=0，因此不是特征值，而是连续谱。证毕。为线性算子的特征值，则的n次根中至少有一个是算子A的特征值。证明为X上一列有界线性算子，且，证明当n充分大后，为正则点。证明当n充分大时，，这样是可逆的。此可逆性由本章2定理1可证，又也是可逆的。因此当n充分大后，也可逆。证毕。时幂级数收敛，因此级数必按算子范数收敛。这就证明了证明在等式两边左乘设A是Hilbert空间H上的有界线性算子，A*为A的共轭算子，证明证明先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子，若T可逆，则T*也可逆，且。
这样对任意成立，因此恒成立，进而。同理。这一证明了T*也可逆，且可逆，因此也可逆，从而。同理若中有界点列。因为全连续，所以中必有收敛子列。我们记之为。又因为有界，所以也收敛，因此有收敛子列。这就证明了是全连续算子。证毕。11．其中，证明A是全连续的。证明是有界秩算子，且所以由本章3定理2，A是全连续算子。证毕。12．的符号同第11题。作上算子U。证明U是上全连续算子且是有限秩算子，且所以这样U是有限秩算子的极限，U必是全连续算子。由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证，只要证U无非零特征值。倘若，由此可得。因此不是U的特征值。证毕。13．设求A的特征值和特征函数。（提示：记为对应特征值的特征函数，则。因此非零特征值，特征函数为，其中为任意非零常数。，特征函数为中任意非零函数。14．积分算子的核为，其中为线性无关的函数组，则其非零特征值相应的特征向量e有形式为A的特征值，为对应的特征向量，则15．在14题中，若。试求特征值和特征函数。采用14题的符号，因为，所以这样决定的方程组。因此就是此积分算子的全体非零特征值。对应每一显然由张成的有限维线性子空间M的正交补空间中任一非零函数都是相应于0的特征函数。16．，求积分算子K的特征值和特征函数。因此积分算子K有两个非零特值。其中相应于特征函数为相应于特征函数为。如15题，0相应的特征函数为中非零函数。17．解方程。，因此所以是积分方程的解。本题及第16题也可以用待定系数法直接解得。18．解方程的完全规范正交系，由本章5定理1，因此为本积分方程的解。
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